Crivo de Eratóstenes

Encontrar números primos é um problema comum em olimpíadas e maratonas de programação. Até hoje não existe uma maneira fácil de determinar se um número é ou não primo, mas para resolver estes problemas é indispensável o conhecimento de alguns algoritmos clássicos e simples, como o Crivo de Eratóstenes.

O Crivo de Eratóstenes é um método bastante prático para encontrar os primos de 2 até um valor limite, que pode ser feito a mão e é fácil de implementar.

O algoritmo consiste em:

  1. Determinar (ou receber na entrada do programa) o valor limite, isto é, o maior número que desejamos saber se é primo.
  2. Fazer a raiz quadrada do valor limite. Pode-se arredondar para baixo caso a raiz não seja exata (e quase nunca é).
  3. Criar um vetor (lista) com os números de 2 até o valor limite.
  4. Para i=2 até raiz do valor limite, caso o número (i) não esteja riscado insira-o na lista dos primos (ou imprima-o, ou não faça nada, isso depende da utilidade que você quer dar para o crivo) e risque todos os seus múltiplos na lista.

Há várias maneiras de implementar este algoritmo. Eu pseudocodaria (meu pseudocódigo é bem próximo de uma linguagem normal, porque acho que assim é mais fácil de entender e depois implementar) ele assim:

/* Primeiro passo */
recebe valorLimite

/* Segundo passo */
raiz [tex]\leftarrow[/tex] [tex]\sqrt{valorLimite}[/tex]

/* Terceiro passo */
para i [tex]\leftarrow[/tex] 2 até valorLimite
    vetor[i] [tex]\leftarrow[/tex] i
fim-para

/* Quarto passo */
para i [tex]\leftarrow[/tex] 2 até raiz
    se vetor[i] = i
        imprima "O número " i " é primo."
        para j [tex]\leftarrow[/tex] i+i até valorLimite, de i e i
            vetor[j] [tex]\leftarrow[/tex] 0
        fim-para
    fim-se
fim-para

Vêem como é simples?

Crivo de Eratóstenes implementado em C

#include
#include
// necessário para raiz

#define NMAX 1000000 // valor máximo para o valor máximo

int main() {
int i, j, vetor[NMAX];
int valorMaximo, raiz;

// Primeiro passo
scanf("%d", &valorMaximo);

// Segundo passo
raiz=sqrt(valorMaximo);

// Terceiro passo
for (i=2; i<=valorMaximo; i++) {
vetor[i]=i;
}

// Quarto passo
for (i=2; i<=raiz; i++) {
if (vetor[i]==i) {
printf("%d é primo!\n", i);
for (j=i+i; j<=valorMaximo; j+=i) {
vetor[j]=0; // removendo da lista
}
}
}

return 0;
}

No USACO Training Program Gateway (programa de treinamento para olimpíadas dos estado-unidenses) há um problema muito interessante (Prime Palindromes) cujo objetivo é determinar palíndromos primos de X a Y. Uma das melhores situações que já encontrei para usar o Crivo e sem dúvidas é um ótimo treinamento. Além de determinar primos, você terá que determinar palíndromos e é outro ótimo exercício lógico-matemático.

Divirtam-se e qualquer dúvida usem os comentários!

Escada perfeita (OBI2006)

Depois de meses sem postar, resolvi que a partir de agora darei mais atenção pra este blog. Muita gente me manda e-mail e comentários com dúvidas e gostaria de deixar bem claro que eu não faço trabalhos de faculdade pra ninguém, mas que se você tiver uma dúvida real onde eu possa ajudar eu ajudarei de bom grado.

Pensei muito sobre o que postar aqui, tenho rascunhos sobre buscas em grafos e sobre resoluções de problemas de grafos, mas resolvi quebrar toda a ordem e, a partir de um scrap de orkut, acabei me lembrando do problema Escada perfeita, da OBI 2006, e me deu vontade de resolvê-lo aqui.

Por que o problema Escada Perfeita?

A programação deste problema é extremamente simples, mas a sua lógica (matemática pura) é muito inteligente. Tente resolver o problema antes de ver minha solução e, caso não consiga, depois veja como a solução é bonita.

Vamos ao enunciado…

Uma construtora, durante a criação de um parque temático, encontrou no terreno um conjunto de várias pilhas de cubos de pedra. Ao invés de pagar pela remoção dos cubos de pedras, um dos arquitetos da empresa achou interessante utilizar as pedras para decoração do parque, determinando que as pedras fossem rearranjadas no formato de “escada”. para isso, os funcionários deveriam mover alguns cubos para formar os degraus das escadas. Só que o arquiteto decidiu que, entre uma pilha e outra de pedras deveria haver exatamente uma pedra de diferença, formando o que ele chamou de escada perfeita. O exemplo abaixo mostra um conjunto de cinco pilhas de pedras encontradas e as cinco pilhas como ficaram após a arrumação em escada perfeita.

Escada perfeita

Tarefa

Dada uma seqüência de pilhas de cubos de pedras com suas respectivas alturas, você deve determinar o número mínimo de pedras que precisam ser movidas para formar uma escada perfeita com exatamente o mesmo número de pilhas de pedras encontrado inicialmente (ou seja, não devem ser criadas ou eliminadas pilhas de pedras). O degrau mais baixo da escada deve sempre estar do lado esquerdo.

Entrada

A entrada contém um único conjunto de testes, que deve ser lido do dispositivo de entrada padrão (normalmente o teclado). A primeira linha contém um inteiro n que indica o número de pilhas de pedras. A segunda linha contém N números inteiros que indicam a quantidade de cubos de pedras em cada uma das pilhas, da esquerda para a direita.

Saída

Seu programa deve imprimir, na saída padrão, uma única linha, contendo um inteiro: o número mínimo de cubos de pedras que devem ser movidos para transformar o conjunto de pilhas em uma escada perfeita, conforme calculado pelo seu programa. Caso não seja possível efetuar a transformação em escada perfeita, imprima como resultado o valor -1.

Exemplos

Exemplo 1

Entrada
5
5 4 5 4 2

Saída
5

Exemplo 2

Entrada
6
9 8 7 6 5 4

Saída
9

Exemplo 3

Entrada
2
1 5

Saída
-1

OK. Estão prontos?

Depois de pensar um pouco, conclui-se que:

  1. A escada perfeita é uma PA de razão 1 (aumenta de um em um). Você lembra disso do seu primeiro ano do Ensino Médio? Senão, é bom dar uma relembrada. As fórmulas (simples e facilmente deduzíveis) da PA são:

    Termo geral da PA

    [tex]a_{n} = a_{1} + (n-1).r[/tex]

    Soma de PA

    [tex]\displaystyle S_{n} = (a_{1}+a_{n}).\frac{n}{2}[/tex]

  2. Sabemos quanto vale n (o número de pilhas, número de elementos da PA) e conseguimos calcular a soma de todos os elementos (podemos fazer isso até durante o loop da entrada, certo?)
  3. Sabemos quanto vale a razão (r=1).
  4. Substituindo o que sabemos nas fórmulas conseguimos formar um sistema de equações básico e desta forma torna-se fácil descobrir o valor do primeiro e do último termo da PA ([tex]a_{1}[/tex] e [tex]a_{n}[/tex]). Resumindo um pouco os cálculos, depois de alguma manipulação algébrica você chega a:

    [tex]\displaystyle a_{n} = \frac{\frac{2.S_{n}}{n}+n-1}{2}[/tex]

    [tex]\displaystyle a_{1} = 1 + a_{n} – n[/tex]

  5. Agora que já sabemos onde começa e onde termina a escada basta fazer um loop em cada fila de blocos e adicionar à uma variável movimentos a quantidade de quadradinhos que estão sobrando nesta fileira (por exemplo, na primeira fileira da figura do enunciado está sobrando três quadradinhos para chegar ao [tex]a_{1}=2[/tex]). Ao mesmo tempo, adicionamos à outra variável (moves) a quantidade de quadradinhos que devem ser retirados ou colocados na fileira (porque depois se esta variável não for igual a 0 imprimimos -1). Ficou claro?

Implementação

Variáveis

  • n: número de degraus (fileiras de blocos)
  • a: [tex]a_{1}[/tex], número de blocos do primeiro degrau.
  • b: [tex]a_{n}[/tex], número de blocos do último degrau.
  • soma: [tex]S_{n}[/tex], soma da PA.
  • pilha[]: vetor de degraus.
  • movimentos e moves: explicados no quinto passo da solução.
  • i e j: variáveis auxiliares para fazer os loops.

Codeado em C

#include
#define PMAX 10001

int main() {
int i, j;
int n;
int soma=0;
int a, b;
int pilha[PMAX];
int moves=0;
int movimentos=0;

scanf("%d", &n);
for (i=0; i scanf("%d", &pilha[i]);
soma+=pilha[i];
}

b=(((2*soma)/n)+(n-1))/2;
a=1+b-n;

for (i=0; i moves+=(pilha[i]-(i+a));
if (pilha[i]>i+a) {
movimentos+=(pilha[i]-(i+a));
}
}

if (moves!=0) {
printf("-1\n");
} else {
printf("%d\n", movimentos);
}

return 0;
}

Prontinho! :) Qualquer dúvida escrevam seus comentários.