Algoritmos Computacionais

Artigos sobre lógica de programação por Tiago Madeira

algoritmo: do Lat. algorithmos < Ár. alkharizmi: [Inform.] conjunto de etapas bem definidas necessárias para chegar à resolução de um problema.

Representando Grafos na Programação

January 23, 2006

No último artigo, conhecemos a representação chamada "grafo" da seguinte maneira:

Exemplo 1

Como todos sabemos, seria bem difícil trabalhar uma árvore assim na programação! Por isso, existem várias maneiras de representar um grafo. Nesta série só vou usar as duas mais populares:

Matriz de Adjacência
Lista de Adjacência

Poderíamos falar também sobre a Matriz de Incidência, mas eu nunca precisei utilizá-la, então prefiro só entrar nessas duas mesmo.

Cada vértice é um número

Para representar um grafo, cada vértice sempre vai ser um número. No caso de você querer representar amizade entre duas pessoas, como no exemplo do Orkut no último artigo, você cria um vetor chamado nome[] que contém o nome de cada número...

Matriz de Adjacência

A matriz de adjacência é uma matriz de N x N (onde N é o número de vértices do grafo). Ela inicialmente é preenchida toda com 0 e quando há uma relação entre o vértice do x (número da coluna) com o do y (número da linha), matriz[x][y] é marcado um 1.

Vamos escrever este grafo aqui usando uma matriz de adjacência:

Matriz Inicial

	1	2	3	4	5
1	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0
4	0	0	0	0	0
5	0	0	0	0	0

Relações do nosso grafo

Já que o grafo não é orientado, a relação 1-2 significa 2-1 também.

1-2 (2-1)
1-3 (3-1)
2-3 (3-2)
2-4 (4-2)
4-5 (5-4)

Essas são as cinco arestas do nosso grafo. Vamos representá-la na matriz de adjacência:

	1	2	3	4	5
1	0	1	1	0	0
2	1	0	1	1	0
3	1	1	0	0	0
4	0	1	0	0	1
5	0	0	0	1	0

Simetria

Uma das características da matriz de adjacência quando o grafo não é orientado é a simetria encontrada na "diagonal". É interessante que se lermos uma coluna de índice v ou uma linha de índice v vamos encontrar a mesma coisa.

Problemas da OBI

Alguns desses programas são complicados, mas isto não entra em questão. Apenas dê uma olhada no recebimento da entrada deles. Todos estão em C. O que eles têm em comum é a utilização de uma matriz de adjacência para guardar o grafo (geralmente nomeada g):

* - Grafo orientado
+ - Grafo ponderado (veremos no próximo artigo)
X - Não queira ver esse problema. Nunca vi solução mais feia. Já estou providenciando uma implementação mais decente...

Descobrir o grau de cada vértice

Eu não disse pra vocês que era fácil conseguir emprego no Orkut? Hehehe... Vamos pensar como podemos descobrir o grau (relembrando... o número de arestas que cada vértice tem OU o número de amigos que cada pessoa tem) na matriz de adjacências. Não basta contar quantos 1s tem na sua linha correspondente? Então façamos isto.

para i  1 até N, faça
	grau  0
	para j  1 até N, faça
		se matriz[i][j] = 1, então
			grau  grau + 1
		fim-se
	fim-para
	imprima "O vértice " i " tem grau " grau "."
fim-para

O custo é $LaTeX: \Theta{}(n^{2})$ até no melhor caso... Será que não há uma maneira mais simples de fazer isso? Imagina um negócio do tamanho do Orkut. Milhões de pessoas... Não seria bem mais fácil se ao invés de termos que passar por todos os vértices, só passarmos pelos amigos? Não poderíamos colocar somente seus amigos num vetor? É por isto que utilizamos a lista de adjacência.

Lista de Adjacência

A lista de adjacência consiste em criar um vetor para cada vértice. Este vetor contém cada vértice que o vértice "conhece" (tem uma aresta para). Geralmente é representada com uma matriz, porque cada vértice vai precisar de um vetor diferente, não é? Já que eu não vou ser duas vezes "amigo" de ninguém, então podemos fazer uma matriz de NxN.

	1	2	3	4	5
1
2
3
4
5

A lista consiste em escrever para cada número de linha (= vértice) seus amigos, da seguinte maneira:

2, 3
1, 3, 4
1, 2
2, 5
4

Portanto, na programação seria representado da seguinte maneira:

	1	2	3	4	5
1	2	3
2	1	3	4
3	1	2
4	2	5
5	4

O método da lista de adjacências tem várias vantagens: dependendo de como você implementa você não precisa inicializar a lista (zerar), as buscas são bem mais rápidas (você só passa pelos vértices que são "amigos" do atual) e geralmente você já tem o grau do vértice na ponta da língua (eu, pelo menos, sempre uso um vetor cont que contém o número de amigos de cada vértice para ficar mais fácil inserir o próximo elemento na lista - lista[cont[v]++]=w).

Como implementar

Vamos trabalhar com uma entrada de vários x, y, indicando relação entre x-y (y-x) até que x=0 e y=0. O grafo não é orientado.

Matriz de Adjacências

para i  1 até N, faça
	para j  1 até N, faça
		matriz[i][j]  0
	fim-para
fim-para

enquanto (recebe x, y e x  0), faça
	matriz[x][y]  1
	matriz[y][x]  1
fim-enquanto

Tem vários exemplos implementados em C aqui.

Lista de Adjacências

para i  1 até N, faça
	grau[i]  0
fim-para

enquanto (recebe x, y e x  0), faça
	lista[x][grau[x]++]  y
	lista[y][grau[y]++]  x
fim-enquanto

Para quem não programa em C, o variavel++ significa "incrementar variavel depois da instrução atual".

As duas juntas

para i  1 até N, faça
	para j  1 até N, faça
		matriz[i][j]  0
	fim-para
	grau[i]  0
fim-para

enquanto (recebe x, y e x  0), faça
	matriz[x][y]  1
	matriz[y][x]  1
	lista[x][grau[x]++]  y
	lista[y][grau[y]++]  x
fim-enquanto

Qual a representação que devo utilizar?

Isso depende totalmente do problema. Em alguns casos, o mais barato é usar as duas representações juntas. As vantagens da lista de adjacências eu já escrevi aqui. A única vantagem da matriz de adjacências é você em tempo constante (não é nem linear) saber se um vértice é amigo de outro. Afinal, basta testar matriz[v][w].

Até maio do ano passado, eu não tinha aprendido isso direito e sempre usava a matriz de adjacências. Por isso muitos dos meus problemas estão resolvidos de forma pouco eficiente...

Espero que tenham gostado. Qualquer dúvida, crítica ou sugestão; poste um comentário ou me envie um e-mail. Mandem um feedback!

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Categoria(s): Grafos

15 comentários

#1 | Peter Jordan (21/02/2006)

Muito legal seu artigo mas ainda fiquei com algumas lacunas. No final não consegui simular uma rede no orkut com apenas 5 amigos seguindo o seu exemplo. Nos exemplos em C não vi nenhum onde partisse do zero já com as variáveis preenchidas por isso não consegui decifrá-lo. Agradeceria muito se pudesse entrar em contato para que eu pudesse trocar umas informações.
Abraço!

#2 | Tiago Madeira (21/02/2006)

Oi Peter!

Eu nunca implementei um problema de grafos partindo de um grafo pronto! :S Hehehe… Por isso você não encontrou… =) Mas é o seguinte:

Você pode usar ou a matriz de adjacências ou a lista de adjacências. Vamos usar a matriz de adjacências.

Ela é a primeira que eu falo no artigo, onde toda relação entre dois caras é representada com um 1 (ex.: João é amigo de Maria).

grafo[João][Maria]=1

Onde não tem relação, colocamos 0 (ex.: João e Carlos não se conhecem)

grafo[João][Carlos]=0

Como implementar isso?

Para fazer um grafo pronto de 5×5, você teria que fazer o seguinte (é em C que você programa, né?)

int grafo[6][6];memset(grafo, 0, sizeof(grafo)); //zerando tudo! (apagando as relações)grafo[1][2]=1; //1 é amigo de 2grafo[2][5]=1; //2 é amigo de 5// e assim vai

Entendeu?

Aí depois para contar o grau do vértice (ver quantos amigos tem cada cara) você usa aquele algoritmo que eu proponho logo após o texto “Descobrir o grau de cada vértice. Em C, ficaria assim:

for (i=1; i<=5; i++) {  grau=0;  for (j=1; j<=5; j++) {    if (grafo[i][j]) { //se relação existe (é diferente de 0)      grau++; //incrementa grau    }  }  printf("O grau do vértice %d é %d.n", i, grau);}

Espero que dê tudo certo! Qualquer coisa, pode contar comigo.

Um abraço,
Tiago.

#3 | Johnny Everton (04/04/2006)

o quer dizer problema na OBI em matrizes adjacentes

#4 | ilton junior (06/04/2006)

gostaria de ver um codigo em c de floyd para caminhos d dijktra para custo em lista de adjacencia!!!!

#5 | Gean (09/08/2006)

Sou meio cru em java… estou precisando de fazer uma aplicação que receba os dados do usuário e monte um grafo a partir das entradas, poderiam me dar uma mãozinha ?

#6 | Tiago Madeira » Representando Grafos na Programação (10/12/2006)

[…] O artigo está em outro local agora: Representando grafos na programação […]

#7 | Caio Martins (24/12/2006)

Oi Tiago, gostaria de dar meus parabéns pelo artigo.
O engraçado é que eu tava fazendo um grafo orientado achando que era não orientado.
tava fazendo:

matriz[x][y] = 1;
e não:
matriz[x][y] = 1;
matriz[y][x] = 1;
Eu achava que se fizesse isso, eu estaria montando um ciclo.
Enfim, eu gostaria de dar uma sugestão:
Acho que seria interessante colocar implementações dinâmicas além de encadeadas.

Abração
Boas festas

#8 | Ricardo (11/06/2007)

Olá, tudo bem? Estou apanhando um pouco em escrever uma classe em java que produza a seguinte solicitação:
1. Construa uma classe Java que armazene um grafo através da representação por matriz de adjacência. Implemente um método que permita a leitura de um grafo armazenado em um arquivo texto. Construa outro método para armazenar em um arquivo um grafo armazenado na memória.

Grafo a = new Grafo();
a.carregar(“arquivo.txt”); // Carrega o grafo do disco.
…
a.salvar(“arquivo.txt”); // Armazena o grafo no disco.

#9 | Ricardo (11/06/2007)

O amigo poderia me auxiliar nessa tarefa?

Cordiais saudações,

Ricardo

#10 | brigida (16/06/2007)

vc colocou varios exemplos implementados de matrizes de adjacencias teria como colocar tambem com listas?!

#11 | Tiago Madeira (16/06/2007)

Logo embaixo das matrizes de adjacência há um título bem grande “Lista de adjacências” que explica e implementa listas.

#12 | Tiago Madeira (16/06/2007)

Ricardo,
É preciso saber como o grafo está representado no arquivo que o Java lê (como é o formato da entrada) para resolver este problema.

#13 | Felippe (22/04/2008)

Olá Tiago,
seria possível você descrever pelo menos uns 2 exemplos reais de grafos (não direcionados se possível) como o exemplo do orkut, digo em relação a teoria mesmo, como no seu post.
Parabéns pelos artigos.
Um abraço.

#14 | Adriano (31/05/2008)

Fera, uma matriz de adjacências caracteriza unicamente um grafo, porem a um mesmo grafo G podem corresponder varias matrizes diferentes?Porque?

Abraço,
Adriano.

#15 | Claudio (18/06/2008)

eu gostaria de saber este algoritmo: faça um algoritmo que determine, para um digrafo, a quantidade de vertice que não possuem aresta saindo, considere que são fornecida as matrizes de incidencia e adjacencia do digrafo.
entrada : matriz de incidencia MI[20,30]
matriz de adjacencia - MA[20,20]
saida quantidade de vertice - QV

2) um algoritmo que determina quais vertices são adjacentes a todos os vertices de um digrafo, considere que são fornecidas as matrizes de incidencia e adjacencia do grafo.
entrada matriz incidencia - MI[20,30}
matriz adjacencia - MA[20,20]
vertice de origem - VO
saida vetor de vertice - VVI[20]

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